在一般图中维护 EDCS：更简单、密度敏感且具有最坏情况时间界

在突破性的 ICALP'15 论文中，Bernstein 和 Stein 提出了一种在完全动态{\em 二部}图中维护 $(3/2+\epsilon)$ 近似最大匹配的算法，其{\em 最坏情况}更新时间为 $O_\epsilon(m^{1/4})$；我们使用 $O_\epsilon$ 记号来忽略 $\epsilon$ 依赖。他们的主要技术贡献是提出了一种新型有界度子图，命名为{\em 边度约束子图（EDCS）}，其包含较大的匹配——其大小与整个图的最大匹配大小至多相差 $3/2+\epsilon$ 倍。他们证明 EDCS 可以 $O_\epsilon(m^{1/4})$ 的最坏情况更新时间维护，其主要结果作为直接推论得出。在后续的 SODA'16 论文中，Bernstein 和 Stein 将结果推广到一般图，实现了相同的 $O_\epsilon(m^{1/4})$ 更新时间，尽管是摊还界而非最坏情况界。迄今为止，针对{\em 任何}优于 2 的近似匹配，最佳的{\em 确定性}最坏情况更新时间界为 $O(\sqrt{m})$ [Neiman and Solomon, STOC'13]、[Gupta and Peng, FOCS'13]；若允许随机化（对抗无心敌手），可在近似略低于 2 时实现更优（仍为多项式）更新时间 [Behnezhad, Lacki and Mirrokni, SODA'20]。在本工作中我们\footnote{\em quasi nanos, gigantium humeris insidentes} 简化了 Bernstein 和 Stein 针对二部图的方法，使其能推广到一般图，同时在{\em 最坏情况}更新时间上保持 $O_\epsilon(m^{1/4})$ 的相同界。此外，我们的方法是{\em 密度敏感}的：若动态图的{\em Arboricity（森林度）}始终以 $\alpha$ 为界，则算法的最坏情况更新时间为 $O_\epsilon(\sqrt{\alpha})$。