关于部分动态图问题的困难性及其与直径的联系

近年来，动态图问题的条件化下界受到了大量关注。虽然针对完全动态情形的许多结果现已已知，且此类下界通常意味着部分动态设置的最坏情况界，但证明增量和减量算法的摊还界似乎要困难得多。本文考虑了图论中三个经典问题的部分动态版本。基于流行猜想，我们证明：——对于增量或减量最大基数二部匹配，不存在摊还更新时间 $O(n^{1-\varepsilon})$ 的算法。这显著改进了 Henzinger 等人 [STOC'15] 针对稀疏图的 $O(m^{1/2-\varepsilon})$ 界以及 Kopelowitz、Pettie 和 Porat 的 $O(n^{1/3-\varepsilon})$ 界。我们的线性界也显得更自然。此外，我们呈现的结果将节点添加模型与边插入模型区分开来，因为 Bosek 等人 [FOCS'14] 针对前者给出了总更新时间 $O(m\sqrt{n})$ 的算法。——对于定向且带权稀疏图中的增量或减量最大流，不存在摊还更新时间 $O(m^{1-\varepsilon})$ 的算法。此前针对部分动态最大流没有这样的下界。此外，对于定向无权重图或无向带权图，不存在摊还更新时间 $O(n^{1-\varepsilon})$ 的算法。——对于无权重图的增量或减量 $(4/3-\varepsilon')$-近似直径，不存在摊还更新时间 $O(n^{1/2 - \varepsilon})$ 的算法。我们还展示了若允许节点添加则稍强的界。[...]