巨型圖中的二分匹配：對 EDCS 的緊密分析

最大匹配是最基本的組合優化問題之一，應用於各種情況下，如平衡聚類、數據挖掘、資源分配和線上廣告。在許多應用中，輸入圖是巨大的。這些輸入的康大使其不可能存儲在單台機器的內存中並在其上處理。圖像稀疏化一直是緩解這個問題的極其強大的工具。在本文中，我們研究了匹配問題的高度成功且多功能的稀疏器：*邊度受限子圖 (EDCS)*，該稀疏器首次由 Bernstein 和 Stein 在 [ICALP'15] 中提出。EDCS 有一個參數 $\beta \geq 2$ 用於控制稀疏器的密度。通過各種證明在文獻中已經證明，通過選擇具有 $O(n\beta)$ 條邊的子圖，EDCS 包括的匹配大小至少為 $2/3-O(1/\beta)$ 倍於最大匹配大小。因此，通過增加 $\beta$，EDCS 的近似比率趨近於 $2/3$。在本文中，我們提出了一種新的方法，用於分析 EDCS 的近似比率。我們的分析對任何 $\beta$ 的值都是緊密的。也就是說，我們針對任何稀疏參數 $\beta$ 的精確近似比率進行了定位。我們的分析揭示，無需增加 $\beta$ 就能改善近似比率，正如之前的分析所暗示的那樣。特別是，最佳選擇是 $\beta = 6$，它達到了約 $.677$ 的近似比率！這大概是令人惊讶的，因為它甚至比 $2/3 \sim .666$，這是 EDCS 被廣泛認為的限制，更好。