稀有事件并集的重要性抽样及其在电力系统分析中的应用

我们考虑使用重要性抽样来估计由随机变量 $\boldsymbol{x}$ 定义的 $J$ 个稀有事件 $H_j$ 的并集的概率 $\mu$。我们研究的抽样器至少自 Karp 和 Luby (1983) 以来已被用于空间统计、基因组学和组合学。其工作方式是随机抽取一个事件，然后在此事件发生的条件下抽取 $\boldsymbol{x}$，并通过将发生事件数的逆矩乘以联合界来构造 $\mu$ 的无偏估计。我们证明了该抽样器的一些方差界。对于样本量为 $n$ 的情况，其方差不大于 $\mu(\bar\mu-\mu)/n$，其中 $\bar\mu$ 是联合界。无论 $J$ 个事件之间的重叠模式如何，其变异系数也不大于 $\sqrt{(J+J^{-1}-2)/(4n)}$。我们的动机问题来自电力系统可靠性，其中连接节点之间的相位差具有联合高斯分布，而 $J$ 个稀有事件源于不可接受的大相位差。在电网可靠性问题中，即使某些事件由 $326$ 维空间中的 $5772$ 个约束定义，且概率低于 $10^{-22}$，仅用 $n=10{,}000$ 个样本值即可估计出约 $0.0024$ 的变异系数。