Ihara zeta 函数、Maclaurin 级数系数与 Ramanujan 图

设 $X$ 为一个阶为有限 $n$ 的连通 $(q+1)$-正则无向图。当 $X$ 的所有非平凡特征值 $\lambda$ 满足 $$|\lambda|\leq 2q^{\frac{1}{2}}$$ 时，称图 $X$ 为 Ramanujan 图。我们考虑 $X$ 的 Ihara zeta 函数 $Z(u)$ 的变体 $\Xi(u)$，定义为 \begin{gather*} \Xi(u)^{-1} = \left\{ \begin{array}{ll} (1-u)(1-qu)(1-q^{\frac{1}{2}} u)^{2n-2}(1-u^2)^{\frac{n(q-1)}{2}} Z(u) \qquad &\hbox{若 $X$ 非二部}, (1-q^2u^2) (1-q^{\frac{1}{2}} u)^{2n-4} (1-u^2)^{\frac{n(q-1)}{2}+1} Z(u) \qquad &\hbox{若 $X$ 二部}. \end{array} \right. \end{gather*} 函数 $\Xi(u)$ 满足函数方程 $\Xi(q^{-1} u^{-1})=\Xi(u)$。设 $\{h_k\}_{k=1}^\infty$ 为由 $$\frac{d}{du}\ln \Xi(q^{-\frac{1}{2}}u) =\sum_{k=0}^\infty h_{k+1} u^k.$$ 给出的数列。本文中我们建立了以下陈述的等价性：(i) $X$ 为 Ramanujan 图；(ii) 对所有 $k\geq 1$ 有 $h_k\geq 0$；(iii) 对无穷多个偶数 $k\geq 2$ 有 $h_{k}\geq 0$。此外我们导出了 Ramanujan 图的 Hasse--Weil 界。