小范数的幂等元

设 $\Gamma$ 为局部紧群。我们回答了 [7] 和 [9] 中遗留的两个问题：i) 对于阿贝尔 $\Gamma$，我们证明若 $\chi_S \in B(\Gamma)$ 是范数满足 $\left\|\chi_S \right\| < \frac{4}{3}$ 的幂等元，则 $S$ 是 $\Gamma$ 的某个开子群的两个陪集的并。ii) 对于一般的 $\Gamma$，我们证明若 $\chi_S \in M_{cb}A(\Gamma)$ 是满足 $\left\| \chi_S \right\|_{cb} < \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ 的幂等元，则 $S$ 是 $\Gamma$ 中的开陪集。