粗范畴 I：基础

遵循 Roe 等人（参见例如 [MR1451755]）的工作，我们从基础出发，采取范畴论的观点（重新）发展粗几何。本文专注于拓扑不起作用的离散情形。我们的理论特别适用于分析侧上 Roe (C*-) 代数 C*(X) 及其 K-理论的发展；我们也希望它在受控拓扑和代数的严格几何/代数设定中有所用处。这些主题将留待未来论文讨论。我们方法的关键是非单式粗空间以及我们所谓的_局部真_映射（实际上隐含在 [MR1988817] 中）。我们的_粗范畴_ Crs 推广了通常的范畴：其对象是非单式粗空间，其态射是模_邻近性_的（局部真）粗映射。Crs 比通常的单式粗范畴丰富得多。因此，它具有所有非零极限和所有上极限。我们考察了各种其他范畴论问题。例如，Crs 没有终对象，因此我们代之以一个_终止函子_，这对于指数对象（即“函数空间”）的发展至关重要，并导出了_商粗空间_的概念。为了将我们的方法与标准方法联系起来，我们还考察了 Crs 与 Roe 的通常粗范畴之间的关系。最后，我们简要讨论了一些基本示例和应用。主题包括_度量粗空间_、_连续控制_ [MR1277522]、度量和连续控制的_粗单纯形_、_sigma-粗空间_ [MR2225040]，以及商粗空间与 Roe 代数 K-理论之间的关系（对于连续控制的粗空间尤为有趣）。