k-局部半正定矩阵的双曲松弛
最优化与控制
2021-07-22 v2
摘要
求解大规模半正定(PSD)规划的一种成功计算途径是仅对子矩阵集合强制 PSD 性。在我们的研究中，令 S^{n,k} 为所有 k×k 主子矩阵均为 PSD 的 n×n 对称矩阵构成的凸锥，称其中的矩阵为 k-局部 PSD。为比较 S^{n,k} 与 PSD 矩阵，我们研究了 k-局部 PSD 矩阵的特征值。本文的关键洞见在于存在一个凸锥 H(e_k^n)，使得若 X ∈ S^{n,k}，则 X 的特征值向量包含于 H(e_k^n) 中。该锥 H(e_k^n) 是初等对称多项式 e^k_n（其中 e_k^n(x) = ∑_{S⊆[n]:|S|=k} ∏_{i∈S} x_i）关于全 1 向量的双曲性锥。利用此洞见，我们改进了此前关于 S^{n,k} 中矩阵与 PSD 矩阵间 Frobenius 距离的已知上界。我们还研究了凸松弛 H(e^n_k) 的质量：首先证明该松弛在 k = n-1 时是紧的，即对于 H(e^n_{n-1}) 中每个向量，均存在 S^{n,n-1} 中的矩阵以其为特征值代入；随后我们证明了一个关于 S^{n,k} 中全体 k×k 主子式为零的非奇异矩阵的结构定理，我们相信其具有独立意义。该结果表明，当 1<k<n-1 时，H(e_k^n) 边界的“大部分”不与 S^{n,k} 中矩阵的特征值相交。
引用
@article{arxiv.2012.04031,
title = {Hyperbolic Relaxation of $k$-Locally Positive Semidefinite Matrices},
author = {Grigoriy Blekherman and Santanu S. Dey and Kevin Shu and Shengding Sun},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.04031},
year = {2021}
}