双曲单极子、(半)全纯 Chern-Simons 理论与广义手征 Potts 模型

我们通过（半）全纯场理论的视角，研究了双曲空间中磁单极子的谱数据与广义手征 Potts 模型（gCPM）的谱参数曲线之间的关系。我们实现了两侧数据的等同，我们称之为双曲单极子/gCPM 对应。对于群 $\text{SU}(2)$，这种对应在 80 年代已被 Atiyah 和 Murray 观察到。在此，我们重新审视并推广了这一对应，并确立了其起源。通过引入 Murray 和 Singer 关于双曲单极子的工作，我们首先将 Atiyah 和 Murray 的观察推广到群 $\text{SU}(n)$。然后，我们提出了一种在 4d Chern-Simons (CS) 理论中工程化 gCPM 的技术，这解释了该模型的诸多特征，包括其 R-矩阵缺乏快度差分性质，以及其具有亏格 $\ge 2$ 的谱参数曲线的独特性。最后，我们研究了该对应的起源。我们首先阐明了对于双曲 $\text{SU}(n)$-单极子，对应的两侧如何从 Minkowski 空间 $M=\mathbb{R}^{1,3}$ 的射影旋量丛 $\mathbb{P}S(M)$ 上的 6d 全纯 CS 理论中实现，以及对于 gCPM，如何从欧几里得空间 $M=\mathbb{R}^4$ 上实现。然后我们确立了 $\mathbb{P}S(M)$ 可以全纯嵌入到 $\mathbb{C}^{1,3}$ 的射影旋量丛 $\mathbb{P}S(\mathbb{C}^{1,3})$ 中，后者具有固定的复结构且复维数为五。最后我们解释了 $\mathbb{P}S(M)$ 上的 6d CS 理论如何可以看作是 $\mathbb{P}S(\mathbb{C}^{1,3})$ 上的 10d 全纯 CS 理论的降维实现。由于后一理论仅对已固定的 $\mathbb{P}S(\mathbb{C}^{1,3})$ 的复结构敏感，我们将该对应实现为同一十维物理的两种表现。