Yukawa 相互作用的双曲面形式因子及其对地球的应用

我们定义密度分布的双曲形式因子为其双边 Laplace 变换，与形式因子通过互补或解析延拓相关。对于球体，其为 $\Phi(x = kR) =\langle \cosh \vec k.\vec r\rangle=\langle\sinh kr /kr\rangle$，展开为 $\sum \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \frac{\langle r^{2n}\rangle}{R^{2n}}$，类似于形式因子 $\langle \sin kr/kr\rangle$。它也可从 $2\pi r\,\rho(|r|)$ 的双边 Laplace 变换获得，涉及由新荷载引起的介于 $m=k=1/\lambda$ 的介质中介质势的确定。$\Phi(x)$ 可表示为 $\frac{3}{x^3}\,(x \cosh x - \sinh x)\ \bar\rho(x)/\rho_0$，其中 $\bar\rho(x)$ 为有效密度，对于 $d\rho/dr<0$，从小 $x$ 处的平均 $\rho_0$ 下降到 $\rho(R)$。一个反演公式允许从 $\Phi(x)$ 的解析延拓中恢复 $\rho(r)$，即 $\rho(r) =\rho_0\,(2R/3\pi r)\int\Phi(ix) \sin (x\frac{r}{R})\,x\,dx$。$\Phi(x)$ 对地球至关重要，以确定新力的限制，如由 MICROSCOPE 测试所确定。相当惊奇的是，许多简化的密度轮廓，如 $\rho = \rho_0\ 2R/3r$ 或 $\rho = \rho_0\, (\frac54-\frac{r}{R}+ \frac{R}{3r})$，可为 $\Phi(x)$ 和 $\bar\rho(x)$ 提供解析表达式，几乎与 5 壳模型的值相同。$\,\Phi(x)=(\sinh\frac{x}{2}/\frac{x}{2})^2$ 在 $x=4$ 处的误差约为 1%。$\,\Phi(x)= [7x^2\cosh x-24\cosh x+9x\sinh x -4x^2+24]/(4x^4)$ 在 $\lambda > 100$ km（或 $m< 2\times 10^{-12}$ eV/$c^2$）处的误差为 1%。对于 $m=10^{-12}$ eV/$c^2$，耦合限制相对于无质量介体增加 34 倍，至 $|g_{B-L}|< 3.6 \times 10^{-24}$ 和 $|g_B|<2.6\times 10^{-23}$（对于自旋-1 介体），在自旋-0 情形下有略微不同的限制。