超运算与从 $\mathbb{F}_1$ 到 $\mathbb{Z}$ 的标量扩张

$\mathbb{F}_1$-模（在 Segal $\Gamma$-集的意义下）的加法结构与 Abel 群的加法结构有根本区别：加法是通过一族多值的且不满足经典结合律的 $n$ 元超运算编码的。我们建立了一个 \emph{广义结合律}，表明尽管缺乏严格结合律，所有 $n$ 元和都受连续二元运算的控制。这使我们能够构造一个标量扩张函子 $-\otimes_{\mathbb{F}_1} \mathbb{Z}: \mathbb{F}_1\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$，该函子将 $\mathbb{F}_1$-模的超加法结构普遍严格化为经典的 Abel 群加法。我们证明该函子是 Eilenberg-MacLane 函子 $H: \mathbf{Ab} \to \mathbb{F}_1\mathbf{Mod}$ 的左伴随。扩展到乘法环境，我们在交换 $\mathbb{F}_1$-代数与交换环之间获得了伴随对 $-\otimes_{\mathbb{F}_1} \mathbb{Z}: \mathbb{F}_1\mathbf{Alg} \leftrightarrows \mathbf{CRing} : H$。这恢复了 Deitmar 针对球面幺半群代数的幺半群环构造，并提供了绝对代数几何所需的基变换机制。