范畴的自由完备化有多好？

每个范畴 $\mathcal K$ 都有一个在余极限下的自由完备化 $\mathcal P \mathcal K$ 和一个在余积下的自由完备化 $\Sigma\mathcal K$。$\mathcal K$ 的许多性质可以传递到 $\mathcal P \mathcal K$ 和 $\Sigma\mathcal K$（例如完备性或笛卡尔闭性）。我们证明 $\mathcal P\mathcal K$ 始终是一个预拓扑斯，但对于大的 $\mathcal K$，很少是拓扑斯。此外，对于完备范畴 $\mathcal K$，我们证明当 $\mathcal K$ 是加性范畴、笛卡尔闭范畴或某个广布范畴的对偶时，$\mathcal P\mathcal K$ 是局部笛卡尔闭的。我们还研究了 $\mathcal P \mathcal K$ 是否为（余）良势范畴的问题。对于“集合状”范畴，答案是肯定的；但对于许多范畴 $\mathcal K$，答案是否定的。