“高”到底有多高？重新思考拓扑数据分析与流形学习中维度的作用

我们提出了广义Hanson-Wright不等式，并据此建立了对数据点云几何的新统计见解。在一般随机函数数据模型的设置下，我们阐明了三种维度概念所扮演的角色：环境内维数（ambient intrinsic dimension）$p_{\mathrm{int}}$，衡量沿正交特征方向的总体可变性；相关秩（correlation rank），衡量样本间函数复杂度；潜在内维数（latent intrinsic dimension），即数据中隐藏的流形结构维数。我们的分析表明，仅当$p_{\mathrm{int}}\gg \log n$（其中$n$为样本量）时，持久图才可能揭示潜在同调，流形结构才可能浮现。基于这些理论视角，我们重新审视了Gardner等人（Nature, 2022）在网格细胞活动中发现的 torus 结构的突破性发现：我们的发现首次显示，该结构实际上等距于物理空间，这意味着网格细胞活动传递了对现实世界几何忠实的表征。