在二面体陪集问题中判定平凡与非平凡有多难？

我们研究了二面体隐藏子群问题的困难性。已知格问题可归约到该问题，且该问题可归约到密度 $> 1$ 的随机子集和以及量子采样子集和解。我们考察该问题的一个判定版本，其中询问隐藏子群是平凡的还是二阶的。该判定问题本质上询问给定向量是否在所有陪集状态的张成空间中。我们通过首先计算陪集空间和垂直空间的显式基来处理此问题。然后我们考察使用此基的高效酉矩阵所带来的后果。我们证明，如果一个酉矩阵以任何方式将该基映射到标准基，那么该酉矩阵可用于求解具有恒定密度 $>1$ 的随机子集和。我们还证明，如果一个酉矩阵能精确判定陪集子空间中的成员资格，那么子集和的碰撞问题可在密度 $>1$ 但随问题规模增大而趋近于 $1$ 时求解。这加强了先前的困难性结果，即特定方式实现最优POVM与量子采样子集和解同样困难。