连续聚类之难度：实数存在论理论下的下界
计算复杂性
2026-05-01 v1 机器学习
摘要
本文研究直接定义在连续概率密度上的聚类问题的计算难度。我们不工作于有限样本，而是假设密度以多项式形式给出，并询问其中是否包含特定聚类结构。 examination of four natural questions。首先，是否存在多个彼此远离的高密度点？第二，两个高密度点是否具有低密度的中点，形成它们之间的谷？第三，密度高于阈值区域是否至少包含给定数量的独立连通块？第四，同一区域是否包含一个洞，即一个不能收缩到点的环？我们证明，前两个问题——分离点和谷检测——恰好与实数的存在论等价，这是包含 NP 的复杂度类，被认为严格大于 NP。相比之下，计数连通块和检测洞的拓扑问题至少与实数的存在论等价，但其 exact complexity 仍是开放问题。将它们放入该类需要实数代数几何的重大进展。这一结果为实数多项式层级结构下精确连续聚类提供了第一个严格分类。它们也表明，即使是基本聚类标准，除非发生意外的折叠，否则也不一定是 NP 完全的。
引用
@article{arxiv.2604.26972,
title = {How Hard Is Continuous Clustering? Lower Bounds from the Existential Theory of the Reals},
author = {Angshul Majumdar},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.26972},
year = {2026}
}