谣言传播有多快？

我们沿 \cite{lebensztayn2008disk} 的思路研究一种谣言传播模型，将其视为 $\Z$ 上的长程渗流模型。我们首先展示了一种尖锐的相变型行为，即在亚临界相中谣言簇生存时间呈指数衰减。在超临界相中，\update{在影响半径随机变量具有 $2+\epsilon$ 阶矩有限（对某个 $\epsilon>0$）的假设下}，我们证明了谣言簇中最右顶点具有确定性速度，即在适当缩放后，最右顶点的位置几乎必然收敛于一个确定的正常数。\update{在影响半径随机变量具有 $4+\epsilon$ 阶矩有限的假设下}，我们对适当缩放并中心化的最右顶点获得了中心极限定理。随后，我们引入一种带重激活的谣言传播模型。在本节中，我们采用一族指数衰减的独立同分布影响半径随机变量，并获得了谣言簇缩放后最右位置的速率结果。据我们所知，这些结果均是新颖的，因为此类性质此前从未在 $\Z$ 上的谣言传播模型背景下被确立过。