Mikhalev 系统的高阶约化

我们考虑 3D Mikhalev 系统，$$u_t=w_x, \quad u_y= w_t-u w_x+w u_x,$$ 该系统最初出现于 KdV 型族的背景下。在约化 $w=f(u)$ 下，得到一对交换的一阶方程，$$u_t=f'u_x, \quad u_y=(f'^2-uf'+f)u_x,$$ 它们支配 Mikhalev 系统的简单波解。本文研究形式为 $$w=f(u)+\epsilon a(u)u_x+\epsilon^2[b_1(u)u_{xx}+b_2(u)u_x^2]+...,$$ 的{\it 高阶}约化，其将 Mikhalev 系统变为一对交换的高阶方程。此处 $\epsilon^n$ 处的项假定为 $u$ 的 $x$ 导数的 $n$ 次微分多项式。我们将 $w$ 视为变形参数 $\epsilon$ 的（无限）形式级数。结果表明，为使此类约化非平凡，函数 $f(u)$ 必须是二次的，$f(u)=\lambda u^2$，此外参数 $\lambda$ 的值（其可自然解释为作用于无限喷射空间上的某二阶算子的特征值）是量子化的。只有两个正允许特征值，$\lambda=1$ 和 $\lambda=3/2$，以及无穷多个负有理特征值。还讨论了 Mikhalev 系统的双分量约化。我们强调，此类高阶约化的存在反映了 Mikhalev 系统的{\it 线性退化}，特别地，对于大多数已知的 3D 无弥散可积系统（如无色散 KP 和 Toda 方程）不存在这样的约化。