安德森局域化的高阶局域化理论

对于包含位置相关（无序）势的哈姆顿算符 $\hat{H}$，我们引入一序列景函数 $u_n(\vec{r})$，满足 ${\hat H} u_n(\vec{r}) = u_{n-1}(\vec{r})$ 且 $u_0(\vec{r}) = 1$。当 $n \to \infty$ 时，$1/v_n(\vec{r}) = u_{n-1}(\vec{r})/u_{n}(\vec{r})$ 收敛于 ${\hat H}$ 的最小本征能 $E_1$，而 $u_{\infty}(\vec{r})$ 则给出相应的波函数 $\psi_1(\vec{r})$。对于大但有限的 $n$，$v_n(\vec{r})$ 可近似为分段常数函数 $v_n(\vec{r}) \simeq v_n^{(m)}$，其中 $\vec{r} \in \Omega_m$，从而逐步改善对局部基本本征态 $\psi_m(\vec{r}) \propto u_{n}(\vec{r})$ 在空间域 $\Omega_m$ 中的本征能 $E_m = 1/v_n^{(m)}$ 的估计。这些一般性结果通过一维中的多个实例得到说明：盒势、随机排列的无限势垒序列、光滑且空间无关联的随机势、准周期势以及二维中无关联随机势。