高阶同伦运算与André-Quillen上同调

实现一个$\Pi$-代数（一个分次群$\Lambda$，配备有基本同伦运算的作用）作为空间$X$的同伦群的问题有两种主要方法。两者都涉及尝试通过一个单纯空间$W_\bullet$实现$\Lambda$的一个代数自由单纯消解$G_\bullet$，并在单纯维数上归纳进行。第一种方法通过Dwyer、Kan和Stover的工作，提供了$H_{AQ}^{n+2}(\Lambda;\Omega^{n}\Lambda)$（$n \geq 1$）中的一列André-Quillen上同调类，作为$W_\bullet$的逐次Postnikov截断存在的障碍。第二种方法通过Blanc的早期工作，给出了一列几何定义的高阶同伦运算作为障碍；在本文作者的早期工作中，这些障碍被识别为Dwyer、Kan和Smith的障碍理论。还存在（代数和几何的）障碍用于区分$\Lambda$的不同实现。在本文中，我们：1）提供了表示上同调障碍的上循环的显式构造；2）提供了高阶同伦运算的某些最小值的类似显式构造（这些最小值归结为“长Toda括号”）；3）证明了这两种构造在某个明显的映射下对应。