用于检测稀疏异质混合模型的高阶批评

高阶批评（higher criticism），或称二级显著性检验，是 Tukey 顺带提及的一个多重比较概念。它关注存在许多独立显著性检验且人们有兴趣拒绝联合零假设的情形。Tukey 建议将给定 \alpha 水平下观测到的显著性比例与联合零假设下的期望比例进行比较。事实上，他建议对这两个量的差进行标准化并形成 z 分数；所得 z 分数检验显著性检验总体的显著性。我们考虑一种推广，在显著性水平 0<\alpha\leq\alpha_0 的范围内对该 z 分数取最大值。我们得以表明，所得的高阶批评统计量能有效解决一个非常微妙检验问题：检验 n 个正态均值是否全为零， versus 其中一小部分非零的备择假设。这一“稀疏正态均值”检验问题的微妙性可从 Ingster 和 Jin 的研究中看出，他们详尽研究了此类问题。在其研究中，他们确定了一系列有趣的情形，其中非零均值的小比例如此之小，以至于备择假设对于 p 值分布的影响无论在大量检验还是极少数最显著的检验中都几乎不明显。在此范围内，当非零均值的幅度与非零均值的比例相校准时，针对精确指定的备择假设的似然比检验仍能将两个假设分离。