基于广义求和分部算子的高阶隐式时间推进方法
数值分析
2016-01-26 v3
摘要
本文将经典有限差分求和分部 (FD-SBP) 时间推进方法的理论扩展至广义求和分部 (GSBP) 框架。研究表明，对偶相容的 GSBP 时间推进方法保留了 A-稳定性和 L-稳定性，以及在与离散化相关的求积下积分泛函的超收敛性。这也意味着每个时间步结束时近似解具有超收敛性。此外，采用对角范数构建的 GSBP 时间推进方法是 BN-稳定的。本文还形式化了 FD-SBP/GSBP 时间推进方法与隐式 Runge-Kutta 方法之间的联系。通过这种联系，将每个时间步结束时近似解的最小精度扩展到了非线性问题。该联系也被用于推导构建非线性稳定 GSBP 时间推进方法的条件。GSBP 时间推进方法可以简化具有特定性质（如 L-稳定性，有利于刚性初值问题）的高阶全隐式 Runge-Kutta 方法的构建。它有助于偏微分方程 (PDEs) 的全离散近似分析，并适用于多维时空离散化，在这种情况下，与 Runge-Kutta 方法的显式联系往往会丢失。文中展示了几个与 GSBP 算子相关的已知和新型 Runge-Kutta 方法示例。这些新型方法均具有 L-稳定性和 BN-稳定性，包括一个四级七阶全隐式方法、一个三级三阶对角隐式方法以及一个四级四阶对角隐式方法。研究并比较了这些格式相对于几种流行的非 GSBP Runge-Kutta 方法的相对效率。
引用
@article{arxiv.1410.0201,
title = {High-Order Implicit Time-Marching Methods Based on Generalized Summation-By-Parts Operators},
author = {Pieter D. Boom and David W. Zingg},
journal= {arXiv preprint arXiv:1410.0201},
year = {2016}
}