椭圆曲线替代模型上的高阶压缩函数及其应用

本文提出一种利用给定椭圆曲线模型中自然对称性获得高阶压缩函数的方法。此类对称性可通过对合 $[-1]$ 的对称性以及平移态射 $\tau_T=P+T$ 的对称性来发现,其中 $T$ 是属于给定椭圆曲线模型 $E(\mathbb K)$ 的 $n$ 阶扭转点。我们将研究具有 $2$ 阶和 $4$ 阶点的椭圆曲线替代模型,特别是 Huff 曲线以及具有 $3$ 阶点的 Hessian 椭圆曲线族(如 Hessian 曲线、扭曲 Hessian 曲线和广义 Hessian 曲线)。我们回顾了这些模型上一些已知的压缩函数,并给出了新的压缩函数。对于(几乎)每一个给出的压缩函数,均给出了差加和倍点公式。由于高阶压缩函数的差加与倍点公式手动推导极为困难,我们设计了一个基于 Gröbner 基的 Magma 程序。我们证明:若椭圆曲线模型 $E$ 存在同构 $\phi:E \to E_M$,其中 $E_M$ 为 Montgomery 曲线,且对任意 $P \in E(\mathbb K)$ 有 $\phi(P)=(\phi_x(P), \phi_y(P))$,则模型 $E$ 可找到 $2$ 次压缩函数。此外,可为此压缩函数找到与 Montgomery 曲线效率相同的差加和倍点公式。然而,对于具有自然 $3$ 阶点的椭圆曲线族,似乎不存在同等效率的压缩函数。