杂乱排列子空间与均匀子空间设计

在本文中，我们研究了“良好分布”的射影（及线性）子空间集合。如果 $\mathsf{PG}(d,\mathbb{F})$ 中的射影 $k$-子空间与每个余维数为 $k$ 的射影子空间相交于一个点生成集，则称它们处于“杂乱排列（higgledy-piggledy arrangement）”。我们证明了杂乱排列的 $k$-子空间集合 $\mathcal{H}$ 必须包含多于 $\min{|\mathbb{F}|,\sum_{i=0}^k\lfloor\frac{d-k+i}{i+1}\rfloor}$ 个元素。我们还证明，如果域 $\mathbb{F}$ 是代数闭域，则 $\mathcal{H}$ 必须包含多于 $(k+1)\cdot(d-k)$ 个元素。$r$-均匀弱 $(s,A)$ 子空间设计是一组线性子空间 $H_1,..,H_N\le\mathbb{F}^m$，每个秩为 $r$，使得每个秩为 $s$ 的线性子空间 $W\le\mathbb{F}^m$ 至多与其中 $A$ 个相交。如果对于所有秩为 $s$ 的 $W\le\mathbb{F}^m$，满足 $\sum_{i=1}^N\mathrm{rank}(H_i\cap W)\le A$，则该子空间设计是 $r$-均匀强 $(s,A)$ 子空间设计。我们证明，如果 $m=r+s$，则参数为 $(s,A)$ 的 $r$-均匀弱（强）子空间设计的对偶（$\{H_1^\bot,...,H_N^\bot\}$）是参数为 $(r,A)$ 的 $s$-均匀弱（强）子空间设计。我们通过证明在 $\mathbb{F}^{r+s}$ 中，对于 $r$-均匀弱或强 $(s,A)$ 子空间设计有 $A\ge\min{|\mathbb{F}|,\sum_{i=0}^{r-1}\lfloor\frac{s+i}{i+1}\rfloor}$，展示了均匀弱子空间设计与杂乱排列子空间之间的联系。我们表明，由 Guruswami 和 Kopprty 基于重数码构造的 $r$-均匀强 $(s,r\cdot s+\binom{r}{2})$ 子空间设计，若将其视为弱子空间设计，其参数 $A=r\cdot s$。我们给出了一些类似的弱和强子空间设计（及杂乱排列子空间）构造，并证明了代数闭域上的下界 $(k+1)\cdot(d-k)+1$ 是紧的。