高维范围搜索的输出敏感工具

设 $P$ 为 ${\mathbb R}^{d}$ 中的 $n$ 个点集。若点 $p \in P$ 位于一个至多包含 $P$ 中 $k$ 个点（包括 $p$）的半空间内，则称 $p$ 为 $k$-浅 (k-shallow)。我们证明，如果 $P$ 的所有点均为 $k$-浅，则 $P$ 可划分为 $\Theta(n/k)$ 个子集，使得任意超平面至多穿过 $O((n/k)^{1-1/(d-1)} \log^{2/(d-1)}(n/k))$ 个子集。给定此类划分，我们可在每个子集内应用具有小穿越数的生成树的标准构造，从而为点集 $P$ 获得一个穿越数为 $O(n^{1-1/(d-1)}k^{1/d(d-1)} \log^{2/(d-1)}(n/k))$ 的生成树。这使我们能够将 Har-Peled 和 Sharir \cite{hs11} 的构造推广至三维及更高维，从而对于 ${\mathbb R}^{d}$ 中的任意 $n$ 个点集（无需浅度假设），获得具有小相对穿越数的生成树 $T$。即，任何在 $P$ 的一侧包含 $w \leq n/2$ 个点的超平面，将穿过 $T$ 的 $O(n^{1-1/(d-1)}w^{1/d(d-1)} \log^{2/(d-1)}(n/w))$ 条边。利用类似机制，我们还获得了一种用于半空间范围计数的数据结构，其使用 $O(n \log \log n)$ 空间（预处理成本略高），并在 $O(n^{1-1/(d-1)}k^{1/d(d-1)} (\log (n/k))^{O(1)})$ 时间内回答查询，其中 $k$ 为输出规模。