Hopcroft 问题、对数星削减、二维分数级联与决策树

我们重新审视 Hopcroft 问题以及关于几何范围搜索的相关基本问题。给定平面上的 $n$ 个点与 $n$ 条直线，我们展示了如何在 $O(n^{4/3})$ 时间内统计点-线关联对的数量或点在线上方对的数量，该结果匹配了猜想的下界，并改进了约 30 年前由 Matoušek 得到的最佳先前时间界 $n^{4/3}2^{O(\log^*n)}$。我们描述了实现该结果的两种有趣且不同的途径：第一种是随机化的，使用了一种新的用于线排列的二维分数级联（fractional cascading）；第二种是确定性的，以受 Fredman (1976) 排序技术启发的方式使用决策树。第二种途径可推广到任意常数维。许多结论源自这些新思路：例如，我们得到了平面上线段相交计数的 $O(n^{4/3})$ 时间算法、三维或四维双色最近点对与欧几里得最小生成树的 $O(n^{4/3})$ 时间随机算法，以及平面上半平面范围计数的随机数据结构，其预处理时间与空间为 $O(n^{4/3})$，查询时间为 $O(n^{1/3})$。