低维射影空间中的杂乱集

本文聚焦于 $\text{PG}(N,q)$ 中 $k$ 维子空间的杂乱集（higgledy-piggledy sets），即“分布良好”的射影子空间集合。更确切地说，这些 $k$ 维子空间与 $\text{PG}(N,q)$ 中任意 $(N-k)$ 维子空间 $\kappa$ 的交点集合张成 $\kappa$ 自身。我们重点介绍了三种构造小规模 $k$ 维子空间杂乱集的方法，并针对 $k\in\{1,N-2\}$ 讨论了覆盖点数尽可能少的“最优”集。此外，我们研究了 $\text{PG}(N,q)$（$N\leqslant5$）中的小规模非平凡杂乱集。我们的主要结果是 $\text{PG}(4,q)$ 中存在六个呈杂乱排列的直线，其中两条相交。利用上述构造方法，我们还证明了 $\text{PG}(4,q)$ 中存在六个呈杂乱排列的平面（其中两个极大相交），以及 $\text{PG}(5,q)$ 中存在两个杂乱集分别由八个平面和七个立体构成。最后，我们将这些几何结果转化到编码与图论的语境中。