刚体模拟中的分层正交矩阵生成与矩阵-向量乘法

在本文中，我们应用分层建模技术，并研究了一些源于生物分子系统 Brownian 动力学模拟的数值线性代数问题，其中分子被建模为刚体的集合。给定由 $n$ 个珠子组成的刚体 $p$，将每个珠子上的力映射到 $p$ 的平移和旋转力（一个 $6\times 1$ 向量）的 $6 \times 3n$ 变换矩阵 $Z$，以及 $Z$ 的行空间 $V$，我们展示了如何仅使用 $\mathcal{O}(n \log n)$ 的运算和存储来显式构造由 $V^{\perp}$（$V$ 的正交补）的 $(3n-6)$ 个正交基向量组成的 $(3n-6) \times 3n$ 矩阵 $\tilde{Q}$。对于只需要矩阵-向量乘法 $\tilde{Q}{\bf v}$ 和 $\tilde{Q}^T {\bf v}$ 的应用，我们引入了渐近最优的 $\mathcal{O}(n)$ 分层算法，而无需显式形成 $\tilde{Q}$。给出了初步的数值结果以证明数值算法的性能和精度。