随机 Ising 模型中的隐团推断 I：植入随机场 Curie-Weiss 模型

我们研究了在植入随机场 Curie-Weiss 模型（又称 pRFCW 模型）中检验并恢复隐藏的 $k$-团铁磁关联的问题。pRFCW 模型是一种随机效应 Ising 模型，其在统计上和物理上均展现出比标准 Curie-Weiss 模型更丰富的相图。利用将参数区间另表征为“温度”、将均值表征为“外磁场”的方式，我们建立了极小极大最优检测率和恢复率。结果包含用于检验的 $7$ 个不同相和用于精确恢复的 $3$ 个相。我们的结果还意味着外磁场的随机性贡献了可数种可能的收敛速率，这在固定场模型中未被观察到。作为证明技术的副产品，我们给出了两个新的数学结果：(1) 随机场 Curie-Weiss 模型（又称 RFCW 模型）在所有温度和任意外场下的平均磁化强度的一族尾界。(2) RFCW 模型间信息散度的锐估计。这些在建立本文主要理论结果中起着关键作用。此外，我们表明 pRFCW 隐团推断问题所涉及的数学结构类似于离散数据的“稀疏 PCA 类”问题。比长期研究的 Gaussian 对应物更丰富的统计相为离散数据的稀疏 PCA 理论见解提供了新视角。