复测度下的启发式相对熵原理：一族多元正态随机多项式的大次数渐近行为

我们研究多项式 $P_N^{}(z)=\prod_{1\leq n\leq N}(X_n^2+z^2)$ 的期望值，其 $2N$ 个零点 $\{\pm i X_k\}^{}_{k=1,...,N}$ 由 $N$ 个独立同分布的多元均值零正态随机变量 $\{X_k\}^{N}_{k=1}$ 生成，协方差为 ${\rm{Cov}}_N^{}(X_k,X_l)=(1+\frac{\sigma^2-1}{N})\delta_{k,l}+\frac{\sigma^2-1}{N}(1-\delta_{k,l})$。原则上，这些期望值可以对任意 $N$ 以封闭形式计算，但常用的计算机代数系统由于内存限制只能处理最多十几个 $N$。前三个期望多项式的列表显示，即使对于中等大小的 $N$，表达式也变得难以处理。另一方面，对于复变量 $z$ 的大 $N$ 情形的渐近评估传统上仅限于解析展开技术，关于复变量 $z$ 的这一情形已有若干严格结果得到证明。然而，如果 $z$ 是实数，也可以借助熟悉的概率测度相对熵原理计算“无限次数”极限下的大 $N$ 渐近行为，并给出了这一事实的严格证明。我们提供了计算机代数生成的证据，以支持一个猜想：相对熵原理向*有号和复测度*的推广支配着虚数 $z$ 情形的 $N\to\infty$ 渐近行为。我们强调了潜在的推广，特别是向点涡旋系综和预定高斯曲率问题，以及随机矩阵系综的推广。