Hermitian 码与完全交

在本文中，我们给出了域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上 Hermitian 码在第三和第四阶段（即距离 $d \geq q^2-q$）的最小重量码字的几何刻画。我们考虑距离 $d$ 的唯一表示 $\mu q + \lambda (q+1)$，其中 $\mu, \lambda$ 为非负整数且 $\mu \leq q$，并证明最小重量码字对应于由曲线 $\mathcal X$ 在 Hermitian 曲线 $\mathcal{H}$ 上截出的完全交除子，曲线 $\mathcal X$ 的次数为 $\mu+\lambda$，且关于 $\texttt{DegRevLex}$ 项序（取 $y>x$）以 $x^\mu y^\lambda$ 为首项。此外，我们证明任何这样的曲线 $\mathcal X$ 都对应于最小重量码字，只要完全交除子 $\mathcal{H}\cap \mathcal X$ 由简单的 $\mathbb{F}_{q^2}$-点组成。最后，利用此几何刻画，我们提出一种算法来计算最小重量码字的数量，并给出了我们的算法与 MAGMA 命令 $\mathtt{MinimumWords}$ 的比较表。