某些算术理论的Herbrand一致性

利用Z. Adamowicz [Herbrand一致性与有界算术, \textit{Fundamenta Mathematicae} 171 (2002) 279--292] 提出的对数缩小有界公式见证的技术，证明了具有有界归纳的某些算术理论的Herbrand一致性的哥德尔第二不完备定理。在那篇论文中，表明不能总是对数地缩小有界公式的见证，但在Herbrand一致性存在的情况下，对于理论${\rm I\Delta_0+\Omega_m}$（其中$m\geqslant 2$），任何有界公式的任何见证都可以对数地缩短。这立即意味着理论$T\supseteq {\rm I\Delta_0+\Omega_2}$的Herbrand一致性在$T$本身中是不可证明的。在本文中，上述结果被推广到${\rm I\Delta_0+\Omega_1}$。此外，在调整了${\rm I\Delta_0}$的Herbrand一致性定义后，我们证明了${\rm I\Delta_0}$的相应定理。因此，对于理论${\rm I\Delta_0+\Omega_1}$和${\rm I\Delta_0}$，哥德尔第二不完备定理的Herbrand版本成立。