缩放、分形动力学与临界指数：用于非整数维 Ising 模型的应用

研究人员需要工具来定量衡量变量在空间和时间上的相互影响。相关函数为描述这些基本依赖关系提供了数学框架，揭示了关于因果性、结构及隐藏模式的见解。对于具有众多自由度的物理系统，如气体、液体和固体，对这些相关性的统计分析至关重要。对于依赖于空间位置\vec{x}和时间t的场\Psi(\vec{x},t，必要时需要了解其与另一位置和时间\Psi(\vec{x}_0,t_0)处的自身相关性。此特定函数称为自相关函数。在平衡态的二相转变情境下，费氏引入的自相关函数提供了重要的数学框架以理解这一现象。然而，他的分析局限于维数为d的欧几里得空间，并在T=T_c时引入一个指数\eta以修正相关函数的空间行为。在最近的工作中，Lima 等人表明，在T_c时需要对相关函数进行分形分析以完成其描述。本研究探讨了相位转变背后的基本物理与数学。特别是，我们表明，现代分数微分的应用允许我们建立一个关于相关函数的方程，能够在上critical维数以下恢复正确的指数。我们获得了费氏指数\eta的精确表达式。此外，我们检查了被某些磁性系统质疑过的鲁斯布鲕克缩放关系，并基于 Ising 模型的结果，我们确认我们的关系以及鲁斯布鲕克缩放定律即使在d非整数时也依然成立。