图Helmholtz谱的Helmholzian谱：新性质

设$\grad$、$\curl$和$\dv$分别是图的梯度、旋度和散度算子的数值化算子。图拉普拉斯$-\dv \grad$导致著名的拉普拉斯矩阵，而图Helmholtz算子$\grad \grad^* + \curl^* \curl$的数值化矩阵称为Helmholtz矩阵。在本文中，我们提出了Helmholtz矩阵确实代表图Helmholtz算子的新的图论证明。然后，我们研究了该矩阵的谱特性。我们的主要结果如下：(i)具有恰好两个不同Helmholtz特征值的图的分类；(ii)Helmholtz矩阵的零化性；(iii)Helmholtz多项式系数的组合解释。此外，我们确定了某些图积的Helmholtz谱，并描述了Helmholtz积分图，推导了最小Helmholtz特征值的界限。与此同时，我们提出了一些针对未来研究的开放问题。