Harrison中心与幂和的乘积

本文主要关注如下恒等式$$(x_1^d + x_2^d + \cdots + x_r^d) (y_1^d + y_2^d + \cdots y_n^d) = z_1^d + z_2^d + \cdots + z_n^d$$ 其中$d>2$，$x=(x_1, x_2, \dots, x_r)$与$y=(y_1, y_2, \dots, y_n)$是不定元系统，且每个$z_k$是$y$的线性型，其系数在有理函数域$\k (x)$中，基域$\k$为特征为$0$或大于$d$的任意域。这些恒等式是著名的Hurwitz、Radon和Pfister平方和合成公式的高次类比。我们证明此类三次及以上幂和合成恒等式是平凡的，即若$d>2$，则$r=1$。我们的证明简单且初等，其中关键在于Harrison的齐次多项式中心理论。