忙碌海狸值 BB(15) 的困难性

忙碌海狸值 BB(n) 是指任意 n 状态、2 符号确定性停机图灵机在空白带上启动时所能执行的最大步数。忙碌海狸函数 $n \mapsto \text{BB}(n)$ 是不可计算的，且迄今为止从其下方仅已知其 4 个值，即 BB(1) ... BB(4)。这引出一个问题：从其上方看，编码重大数学挑战的最小 BB 值是什么？Yedidia 和 Aaronson [28] 已证明知道 BB(4,888) 至少与解决哥德巴赫猜想一样困难，随后有一项尚未发表的改进将其降至 BB(27) [4,1]。我们证明，知道 BB(15) 至少与解决 Erd\H{o}s 自 1979 年以来悬而未决的以下与 Collatz 相关的猜想 [9] 一样困难：对所有 n > 8，在 $2^n$ 的三进制表示中至少有一位数字 2。为此，我们构造了一台显式的 15 状态、2 符号图灵机，其停机当且仅当该猜想为假。该 2 符号图灵机模拟了我们首先构造的一台概念上更简单的 5 状态、4 符号机器。这使得迄今为止 BB(15) 成为与数学中一个自然开放问题相关的最小忙碌海狸值，揭示了求解忙碌海狸值这一探索背后众多挑战之一。