有限呈示群的贝蒂数与极快增长函数

将群 $G$ 的一个有限呈示的长度定义为所有_relator的长度之和加上生成元个数。若群 $G$ 的长度 $\leq N$ 且第 $k$ 个贝蒂数 $b_k(G)=$ rank $H_k(G)$ 有限，则 $b_k(G)$ 可以多大？我们证明对每个 $k\geq 3$，所有此类群的第 $k$ 个贝蒂数的最大值 $b_k(N)$ 是 $N$ 的一个极快增长函数。它增长得比数学中（逻辑学之外）先前遇到的所有函数都快，包括不可计算函数（至少那些为我们所知的）。更形式化地，$b_k$ 增长如同第三个忙碌海狸函数，该函数度量使用通常图灵机的停机问题之预言机的、具有 $\leq N$ 个状态的图灵机的最大产出率。我们还描述了有限呈示群的有限贝蒂数序列的最快可能增长。特别地，它不能增长得像第三个忙碌海狸函数那样快，但能增长得比第二个忙碌海狸函数更快，后者度量使用通常图灵机停机问题预言机的图灵机的最大产出率。我们描述了一个关于有限呈示群贝蒂数的自然问题，其答案由一个增长如同第五个忙碌海狸函数的函数表达。此外，我们概述了一个有限呈示群的构造，其所有同调群或为 ${\bf Z}$ 或为平凡，且其贝蒂数构成一个随机二元序列。