基于能量解理论的非平稳 Hairer-Quastel 普适性

本文通过提供一种建立在能量解理论（Goncalves-Jara '14、Gubinelli-Jara '13、Gubinelli-Perkowski '18、Gubinelli-Perkowski '20）之上的解理论，探讨 KPZ 方程与随机 Burgers 方程的概率方面。我们采用的视角是将随机 Burgers 方程之解写作 Gubinelli-Perkowski '17 的概率解加上一个可用确定性 PDE 考量研究的项，从而研究该方程。一个动机是某一类随机 PDE 生长模型的 KPZ 与随机 Burgers 方程普适性，首见于 Hairer-Quastel '18。为此，我们证明了具一般非线性的 SPDE 的普适性，从而推广了 Hairer-Quastel '18、Hairer-Xu '19，并针对许多非平稳初值，从而推广了 Gubinelli-Perkowski '16。我们的视角也让我们证明了随机 Burgers 对非平稳初数据到白噪声不变测度的显式收敛速率，特别地将 Gubinelli-Perkowski '20 的谱隙结果推广到平稳初值之外，尽管对非平稳数据我们的收敛将以 Wasserstein 距离与相对熵度量，而非如 Gubinelli-Perkowski '20 那样通过谱隙。实际上，我们将 Gubinelli-Perkowski '20 中的谱隙推广为对数 Sobolev 不等式。我们的方法亦可分析分数随机 Burgers 方程；我们简要讨论。最后，我们注意到对 KPZ 与随机 Burgers 方程的视角为一般连续初数据提供了首个内在解概念，不同于正则结构、仿控分布所需的 Hölder 正则数据以及能量解所需的 Hölder 正则布朗桥数据。