Hafnian点过程与CCR代数上的准自由态

设$X$为局部紧Polish空间，$\sigma$为$X$上的非原子参考测度（典型地$X=\mathbb R^d$且$\sigma$为Lebesgue测度）。令$X^2\ni(x,y)\mapsto\mathbb K(x,y)\in\mathbb C^{2\times 2}$为一个满足$\mathbb K^T(x,y)=\mathbb K(y,x)$的$2\times 2$矩阵值核。我们称$X$中的点过程$\mu$为具有相关核$\mathbb K(x,y)$的hafnian点过程，如果对每个$n\in\mathbb N$，$\mu$的第$n$相关函数（关于$\sigma^{\otimes n}$）存在且由$k^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{haf}\big[\mathbb K(x_i,x_j)\big]_{i,j=1,\dots,n}\,$给出。这里$\operatorname{haf}(C)$表示对称矩阵$C$的hafnian。Hafnian点过程包含permanental和2-permanental点过程作为特例。Cox过程$\Pi_R$是$X$中具有随机强度$R(x)$的Poisson点过程。令$G(x)$为$X$上的复Gaussian场，满足对每个紧集$\Delta\subset X$有$\int_{\Delta}\mathbb E(|G(x)|^2)\sigma(dx)<\infty$。则具有$R(x)=|G(x)|^2$的Cox过程$\Pi_R$是一个hafnian点过程。本文的主要结果是，此类过程$\Pi_R$均是对称Fock空间中正则定义的典则对易关系（CCR）表示的粒子密度的联合谱测度，其中CCR代数上相应的真空态是准自由的。