有限群的 Haar 图表示及其在偏序集表示中的应用

设 $R$ 为群，$S$ 为 $R$ 的子集。$R$ 的具有连接集 $S$ 的 Haar 图 $\mathrm{Haar}(R,S)$ 是顶点集为 $R\times\{-1,1\}$ 的图，其中两个不同顶点 $(x,-1)$ 和 $(y,1)$ 被声明相邻当且仅当 $yx^{-1}\in S$。Haar 图这一名称由 Toma\v{z} Pisanski 在对该类图的最早研究之一中提出。对于每个 $g\in R$，映射 $\rho_g:(x,\varepsilon)\mapsto (xg,\varepsilon)$，$\forall (x,\varepsilon)\in R\times\{-1,1\}$，是 $\mathrm{Haar}(R,S)$ 的一个自同构。特别地，集合 $\hat{R}:=\{\rho_g\mid g\in R\}$ 是 $\mathrm{Haar}(R,S)$ 自同构群的一个与 $R$ 同构的子群。在 $\mathrm{Haar}(R,S)$ 的自同构群等于 $\hat{R}$ 的情况下，Haar 图 $\mathrm{Haar}(R,S)$ 被称为群 $R$ 的 Haar 图表示。作为对 Feng、Kov\'{a}cs、Wang 和 Yang 所提问题的回答，我们对允许 Haar 图表示的有限群进行了分类。具体而言，我们证明了每个有限群都允许 Haar 图表示，仅有阿贝尔群和另外十个小群作为例外。我们在 Haar 图方面的工作使我们能够改进 Babai 在 1980 年关于群在偏序集上表示的结果，在此方向上实现了最佳可能结果。随之而来的是对 Babai 关于群在分配格上表示的相关结果的改进。