局部 $2\K_n$ 的有限 $3$-连通集齐次图与 $s$-弧传递图

本文中假定所有图均为有限图。对于 $s\geq 1$ 及图 $\G$，若对任意两个顶点数至多为 $s$ 的同构连通诱导子图，均存在 $\G$ 的一个自同构将前者映射到后者，则称 $\G$ 为 $s$-连通集齐次的；若任意两个顶点数至多为 $s$ 的同构连通诱导子图之间的同构均可扩张为 $\G$ 的一个自同构，则称 $\G$ 为 $s$-连通齐次的。对于 $n\geq 1$，若图 $\G$ 在给定顶点 $u$ 的邻点集上诱导的子图 $[\G(u)]$ 同构于 $2\K_n$，则称 $\G$ 为局部 $2\K_n$ 的。注意，$2$-连通集齐次但非 $2$-连通齐次的图正是半弧传递图，这是代数图论中颇为活跃的话题。受此启发，我们在 (Eur. J. Combin. 93 (2021) 103275) 中提出了刻画或分类围长为 $3$ 且非 $3$-连通齐次的 $3$-连通集齐次图的问题。迄今为止，已知仅有两类围长为 $3$ 且非 $3$-连通齐次的 $3$-连通集齐次图，这些图是局部 $2\K_n$ 的，其中 $n=2$ 或 $4$。本文完成了局部 $2\K_n$（$n\geq 2$）的有限 $3$-连通集齐次图的分类，且所有这些图均为某些特定 $2$-弧传递图的线图。此外，我们很好地描述了自同构群可解的、局部 $2\K_n$ 的有限 $3$-连通集齐次但非 $3$-连通齐次图。由此可用于构造一些新的 $3$-连通集齐次但非 $3$-连通齐次图以及一些新的 $2$-弧传递图。