网格上的群同步

群同步要求利用与边相关联的群差值的噪声观测，来估计与图 G=(V,E) 的顶点相关联的紧群 G 中的未知元素 (θ_v)_{v∈V}。该模型适用于从计算机视觉中的运动恢复结构到图定位与位置确定，再到某些社区发现问题族等多种应用。我们聚焦于图 G 为 d 维网格的情形。由于未知量 θ_v 仅取决于群的全局作用，我们考虑以下弱恢复问题：我们能否比随机猜测更好地确定远距离顶点 u, v 之间的群差值 θ_u^{-1}θ_v？我们证明，对于 d≥3，以及对于某些有限群在 d≥2 时，弱恢复是可能的（前提是噪声足够小）。反之，对于某些连续群，我们证明在 d=2 时弱恢复是不可能的。最后，对于足够强的噪声，弱恢复总是不可行的。