群婚姻问题

设$G$是作用在$[n]=\{1, ..., n\}$上的置换群，$\mathcal{V}=\{V_{i}: i=1, ..., n\}$是$[n]$的$n$个子集的系统。何时存在一个元素$g \in G$使得对每个$i \in [n]$都有$g(i) \in V_{i}$？如果这样的$g$存在，我们就说$G$有一个受限于$\mathcal{V}$的$G$-婚姻。一个明显的必要条件是{\it 轨道条件}：对任意$\emptyset \not = Y \subseteq [n]$，存在某个$g \in G$使得$\bigcup_{y \in Y} V_{y} \supseteq Y^{g}=\{g(y): y \in Y\}$。Keevash (J. Combin. Theory Ser. A 111(2005), 289--309) 观察到，当$G$是对称群$\Sym([n])$时，轨道条件是充分的；这实际上等价于著名的霍尔婚姻定理。我们证明了轨道条件是充分的当且仅当$G$是对称群的直积。我们将轨道条件的概念推广到$k$-轨道条件，并证明了如果$G$是交错群$\Alt([n])$或循环群$C_{n}$且$n \ge 4$，则$G$受限于$\V$满足$(n-1)$-轨道条件当且仅当$G$有一个受限于$\mathcal{V}$的$G$-婚姻。