网格剥离与仿射曲线缩短流

本文研究了两个看似无关的过程之间经实验观察到的联系，其一来自计算几何，另一来自微分几何。第一个过程（我们称之为“网格剥离”）是整数网格子集 $G\subset \mathbb Z^2$ 的凸层分解，此前 Har-Peled 与 Lidický (2013) 针对特例 $G=\{1,\ldots,m\}^2$ 进行了研究。第二个过程是仿射曲线缩短流（ACSF），最早由 Alvarez 等人 (1993) 以及 Sapiro 和 Tannenbaum (1993) 研究。我们给出了经验证据，表明在某种明确定义的意义下，网格剥离在极限情况下的行为类似于凸曲线上的 ACSF。我们提供了一些支持该猜想的理论论证。我们还更仔细地关注了 $G=\mathbb N^2$ 为四分之一无限网格的简单情形。该情形对应于从一条无限 L 形曲线开始的 ACSF，其经 ACSF 变换后对所有 $t>0$ 均变为一条双曲线。我们证明，在 $\mathbb N^2$ 的网格剥离中，(1) 直至第 $n$ 次迭代所移除的网格点数量为 $\Theta(n^{3/2}\log n)$；(2) 第 $n$ 次迭代时的边界被夹在两条双曲线之间，且这两条双曲线相互间隔一个常数因子。