求解空间变系数偏微分方程的无网格 Monte Carlo 方法
图形学
2022-02-01 v1 数值分析
数值分析
摘要
具有空间变系数的偏微分方程（PDEs）贯穿科学和工程领域，用于对丰富的异质材料行为进行建模。然而，传统的 PDE 求解器难以应对自然界中发现的极大复杂性，因为它们必须首先对问题进行离散化——这会导致空间混叠，以及成本高昂且容易出错的全局网格划分/采样。我们描述了一种既不近似区域几何、问题数据，也不近似解空间的方法，即使对于具有极其复杂几何结构和错综复杂系数的问题，也能提供（在期望意义上）精确的解。我们的主要贡献是借鉴体积渲染技术，将球面行走算法从常系数问题扩展到变系数问题。具体而言，一种受零散射启发的方法为一大类二阶椭圆 PDEs 产生了无偏 Monte Carlo 估计器，这些估计器具有与 Monte Carlo 渲染相同的诸多吸引人特征：无需网格划分、易于并行化，以及无需求解全局方程组即可在任何点评估解的能力。
引用
@article{arxiv.2201.13240,
title = {Grid-Free Monte Carlo for PDEs with Spatially Varying Coefficients},
author = {Rohan Sawhney and Dario Seyb and Wojciech Jarosz and Keenan Crane},
journal= {arXiv preprint arXiv:2201.13240},
year = {2022}
}