“从D个样本中选取最优”模型中的网格熵

网格熵是格点模型固有的一种确定性量，它刻画了沿弱收敛于给定目标测度的路径上经验测度的熵。本文中，我们研究一个由重复从分布中取 $D$ 个样本并按全知“策略”挑出一个所构成模型中的经验测度极限行为。我们证明，无论是否将策略限制为独立于所有过去与未来选择，经验测度极限点的集合几乎必然相同，并且该集合与具有有限网格熵的测度集合一致。该集合是凸且弱紧的；我们将其极值点刻画为由自然的“贪婪”确定性策略给出的那些测度，并算出所述极值点的网格熵为0。这给出了经验测度极限点集合的刻画：它是密度服从 $D \cdot Beta(1,D)$ 分布的测度之闭凸包。我们还推导了该模型下基于网格熵的吉布斯自由能变分公式的简化版本，并给出了网格熵的对偶公式。