贪婪向量量化

我们研究了针对 $L^p$ 空间中 $\mathbb{R}^d$ 值随机向量 $X\!\in L^p$ 的 $L^p$-最优向量量化问题的贪婪版本。我们证明存在一个序列 $(a_N)_{N\ge 1}$，使得 $a_N$ 最小化 $a\mapsto\big \|\min_{1\le i\le N-1}|X-a_i|\wedge |X-a|\big\|_{L^p}$（由 $(a_1,\ldots,a_{N-1},a)$ 诱导的 $N$ 级 $L^p$-平均量化误差）。我们证明该序列生成的 $N$ 元组 $a^{(N)}=(a_1,\ldots,a_{_N})$ 具有 $L^p$-速率最优性（即由 $a^{(N)}$ 诱导的 $N$ 级 $L^p$-平均量化误差以 $N^{-\frac 1d}$ 的速率趋于 0）。在自然的附加假设下，贪婪最优序列还满足失真失配性质：$N$ 元组 $a^{(N)}$ 对于 $L^q$-范数（$p\le q <p+d$）保持速率最优。最后，我们提出了计算贪婪序列的优化方法，这些方法改编自常规的 Lloyd's I 和竞争性学习向量量化过程，包括其确定性版本（当 $d=1$ 时可实现）和随机版本。