巴拿赫空间中的贪婪算法与柯尔莫哥洛夫宽度

设 $X$ 为巴拿赫空间，$\mathcal{K}$ 为 $X$ 中的紧子集。我们考虑一种贪婪算法，用于寻找可用于逼近 $\mathcal{K}$ 中元素的 $n$ 维子空间 $V_n\subset X$。我们关注空间 $V_n$ 对 $\mathcal{K}$ 中元素的逼近程度。为此，我们将以 $\sigma_n(\mathcal{K})_X:=\text{dist}(\mathcal{K},V_n)_X$ 度量的贪婪算法性能与柯尔莫哥洛夫宽度 $d_n(\mathcal{K})_X$ 进行比较，后者是用 $n$ 维子空间逼近 $\mathcal{K}$ 所能达到的最佳误差。已有诸多相关结果，例如 Binev 等人（SIAM J. Math. Anal. (2011)）、DeVore 等人（Constr. Approx. (2013)）和 Wojtaszczyk（J. Math. Anal. Appl. (2015)）。本文旨在延续这一研究脉络。我们将证明存在常数 $C>0$ 使得 $$\sigma_n(\mathcal{K})_X\leq C n^{-s+\mu}\big(\log(n+2)\big)^{\min(s,1/2)}, \quad \ n\geq 1\,,$$ 若柯尔莫哥洛夫宽度 $d_n(\mathcal{K})_X$ 以 $n^{-s}$ 衰减，且任意 $n$ 维子空间 $V_n \subset X$ 与 $\ell_2^n$ 的巴拿赫-马祖尔距离满足 $d(V_n,\ell_2^n)\leq C_1 n^\mu$。特别地，当给定关于集合 $\mathcal{K}$ 的额外信息时，该估计中无对数因子。