图态与主子式簇

在量子信息理论中，图态是由图定义的量子态。本文中我们展示了图态与二元对称主子式簇之间的对应，特别是它们在 $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}\rtimes \mathfrak S_n$ 作用下的相应轨道。我们首先以更宽泛的视角切入该主题，即研究 $n$ 重 Pauli 群的极大阿贝尔子群在 $\mathcal C_n^{\text{loc}}\rtimes \mathfrak S_n$ 作用下的轨道，其中 $\mathcal C_n^{\text{loc}}$ 是 $n$ 重局域 Clifford 群：我们证明该作用对应于 $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}\rtimes \mathfrak S_n$ 对二元对称 $n\times n$ 矩阵主子式簇 $\mathcal Z_n\subset \mathbb P(\mathbb F_2^{2^n})$ 的自然作用。这一对应中的关键步骤是将 $SL(2,\mathbb F_2)^{\times n}$ 的作用转化为局域辛群 $Sp_{2n}^{\text{loc}}(\mathbb F_2)$ 对 Lagrangian Grassmannian $LG_{\mathbb F_2}(n,2n)$ 的作用。最后我们研究前述作用如何限制到稳定子群与稳定子态上，以及图态情形下的结果。