自适应谱PINN求解刚性非线性ODE中的梯度缩放效应

由于优化条件较差，物理信息神经网络在训练刚性和振荡动力系统时常常难以实现可靠训练。尽管先前的工作强调了诸如谱参数化等表征层面的补救措施，但自适应谱PINN中初始条件（IC）嵌入的优化影响尚未得到充分刻画。在本文中，我们证明了IC门控函数的选择会引发显式的时间依赖性梯度缩放，该缩放在训练过程中与谱表征发生交互。我们以非线性刚性弹簧摆ODE作为受控基准，比较了指数和线性IC门控与固定及自适应傅里叶谱主干的组合。我们观察到自适应PINN中相对主导地位存在依赖刚性的变化：在中等刚度（$k=20$）下，指数门控通常产生较低误差，但在不同随机种子间表现出异质性行为；而在较高刚度（$k=60$）下，线性门控变得更具优势，且在更大$k$值时观察到额外的反转现象。这些趋势对于相对$L^2$误差和最大逐点误差均成立，并通过带有Holm校正的配对Wilcoxon符号秩检验得到了证实。总体而言，我们的结果表明，IC嵌入在PINN中并非一个中立的设计选择：引发的梯度缩放在刚性区域实质性地影响了优化条件，且在基线与自适应谱模型中表现出不同的敏感度模式。