高维绝缘电导率问题解的梯度估计

我们研究在 $\mathbb{R}^n$ 中有界域内嵌入夹杂的绝缘电导率问题。当夹杂间距离 $\varepsilon$ 趋于 $0$ 时，解的梯度可能爆破。已证明爆破率的上界为 $\varepsilon^{-1/2}$ 阶。已知在维数 $n = 2$ 时该上界是最优的。然而，该上界在维数 $n \ge 3$ 时是否最优一直悬而未决。本文中，我们将维数 $n \ge 3$ 时的上界改进为 $\varepsilon^{-1/2 + \beta}$ 阶，其中某个 $\beta > 0$。